一题可破万题山 | 一道好题的多解归纳（精选）

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一题可破万题山-一道好题的多解归纳

题记：

上周洛阳研讨会上，老师们热烈讨论的一道题目，题目不难，看似普通，却妙处无穷。现将各位老师提及的方法及自己的思考总结如下，以飨读者。

先用一句话概括此题：此题只应天上有，人间能有几回闻！

试题呈现

如图，正方形ABCD的边长是6，其中，CE=2，CF⊥BE，求OF的长

已知这些结论又该如何求解OF的长，那么现在就让我们从不同视角去寻找解法。

思考视角一旋转

如图，此图形存在等腰，那我们旋转看一看。

很明显，此图为手拉手模型，

先说怎么作辅助线：

用旋转的眼光去想，但是写时得用推理的语言写：在BF上取一点F’使BF’=CF，

再说怎么求解：

由8字导角可得∠OBF’=OCF,再利用边等即可得图中两个阴影三角形全等，进一步可推△OFF’为等腰直角三角形，剩下的就是求解FF’的长度了。

利用FF’= BF-BF’=BF-CF即可得到答案

最后利用等腰直角三角形三边之比或者设x用勾股定理也可求解OF                  

从旋转视角出发，还可以

绕点O逆时针旋转：

解答过程与上相同。

绕点B顺时针旋转：

此题利用一转成双，两对相似三角形可以求得OF

绕点B逆时针旋转：

绕点C顺时针旋转：

绕点C逆时针旋转：

思考视角二四点共圆

四边形BOFC存在两个直角，可以想想是否四点共圆。如图，将四个点放到圆内，这样就变成了圆相关问题了，利用圆相关定理就能解决OF的长（记得北京孙老师首先想到此方法）

利用圆周角定理和垂径定理可以知道∠OBF=∠HGF,易知OG=FG=1/2BC，那么在Rt△HGF中，只要知道∠HGF的三角函数值，再列方程即可求解。

求解∠OBF的三角函数值有很多方法：

方法1：利用8字型BOHCF存在相似可以求解

方法2：利用12345模型可以秒出（参见思考视角九）

四点共圆还可以帮助解决旋转方法里所涉及的导角。

思考视角三弦图

这是一个正方形，内部的折线还存在直角，那有没有可能考察弦图，可以试着画一画：

可以画出一个完美的弦图，为了更直观研究这个图形，我们给添上颜色：

从图中易证周围是4个全等的直角三角形。利用A字相似即可求解里面小正方形的边长，然后再求小正方形对角线即可得到答案。

当然此题也可用简化的弦图求解，也就是十字架模型，如图：

从这里由△BCE全等于△CGD得到CG的长，然后导多次相似，最后得到△HOF∽△HCB，进而就可以求解OF。

此方法过程比较繁琐，不过如果知道123模型，此题也可快速出答案（123模型参见思考视角九）。

思考视角四相似或三角比

此题里面有很多相等的角，可不可以从相似的角度去思考呢？如图

图中其实存在天然的相似，△BOF∽△BED，这个相似不容易看出来，它是一个反A字相似（看反A和母子型，需要用旋转加位似的眼光来看）

只需要证明∠BFO=∠BDC=45°，证明方法：由四点共圆可知；或者由两次8字导角可知；按照旋转的方法也可知道。

除了这样，题中其实还存在天然的相似：

从图中容易得到△BOG∽△CFG, △BGC∽△OGF, 其中CF和OB的长度都是容易得到的，也就是相似比容易得到，这样OF的长度就可轻松求解。

此题用相似来解，关键就是导角导边，既然导角导边，那可不可以用强大的导角导边工具-三角函数来解决呢？如图作辅助线

利用等腰直角三角形DIE，直角三角形BIE，直角三角形BHO，直角三角形OHG多次导角导比，即可求解。

在这里，段广猛老师提到要有一种大平面观的意识：整个平面内，只要角等就可以比等，比确定后，只要确定一边，就可确定另一边，这样不仅边与边紧密相关，而且边与角也紧密相关，从而整个平面就融为一体。

思考视角五构直角三角形

这题可以构造直角三角形，利用勾股定理来解吗？

如图：

 通过导角导边可知△OGF为等腰直角三角形，后面OF就好求了。

如图作GF⊥OC也是可以利用勾股定理求解。

郑州于老师提出如图作辅助线方法，方法是一边一角一垂线，灵感来源是佛经里说的一花一叶一菩提，其中利用∠CFO=135°，然后设X求解。此法令人印象深刻。

更令人惊奇的是，于老师还提到此题可用高中学习的余弦定理。详细参见思考视角十。

 我们想了各种作辅助线的方法，其实能不能用最原始的方法呢？这里要求的OF是一条倾斜的线，那我把它放到一个横平竖直的直角三角形里是不是可求，也就是我作一些横平竖直的辅助线，如图：

利用直角三角形FLC可求FL和LC，然后再利用矩形FLKJ可知JK，最后利用直角三角形OJF可求OF

突然有一点大工不巧的感觉，前面想了这么多神奇的辅助线，其实用最简单的辅助线也可以解决。

思考视角六面积视角

如下图，可以取BC中点G,然后得到斜边中线，接着求证DF=OD,OG=FG

得到DG为中垂线，然后利用△OGC的面积等于△OGD的面积（等积转换），而△OGD的面积可以用OJ*GD除以2表示（等面积法）即可算出OJ，进而OF即可求。

这里的解法涉及到了面积，其实除了这样还有一种鬼斧神工的面积法，王老师说一眼看出OG=CF，为什么呢？

因为△BEC面积=△ODE面积=△BOE面积，这是由等高等底定理得到。

这样推出OG=CF，后面利用导角即可求解。

不得不说，有人就是有火眼金睛，天生直觉能力强。

思考视角七K字型

作为改斜归正思想中的一种威力无穷的方法，这题可以用K字解决吗？

见直角可造K字，如上图两个绿色三角形为K字全等，这里不仅有一个K字全等，还有一对K字相似，如下图：

利用这两个K字，列方程即可求解。

点评：此法比较难以想到，不过计算量并不大，设x列方程会是一个一元一次方程。此法的使用说明的不是此法厉害，而是此题厉害，一道简单的题目既然包括如此多的方法，可谓包罗万象，气象万千。

思考视角八坐标系

此类题目，当然可以采取简单直接的坐标方法解决

如图，利用垂直直线的比例系数互为负倒数的关系，可以求出CF解析式，然后联立CF和BE解析式可以求出点F坐标，最后利用两点距离公式可以求解出OF长度。

当然其实在算CF解析式也可以避免使用比例系数互为负倒数关系，如图：

利用十字架模型，可以比较快速地得到CF解析式。

这种建系法在解决中考几何填空题往往能起到绝境逢生的作用，不需要太多的几何构造思维，不过解决的题型比较有限，另外部分知识可能已经超纲，而且大量计算也是此法的一个弱点。

至此，此题解法对于一般初中生可以接受的思路方法就结束了。但是解题还没有结束，如果我们站在更高角度，能不能总结出此题所涉及的更高阶的通性通法？

思考视角九12345模型、123模型

要知此模型，我们可以通过以上图形熟记。

图中存在全等三角形BAC和CDE,所以可以得∠BAC的正切值为1/2，为了更好研究角度和正切值的关系，我们用1/2表示∠BAC,∠FAE的正切值为1/3，那么可以用1/3表示∠FAE，而△ACE为等腰直角三角形，所以∠BAC+∠FAE=45°，即“1/2”+“1/3”=45°，也就是说45°角可以拆分为两个正切值分别为1/2和1/3的角；

同理由∠DEF=180°，可以推出“1”+“2”+“3”=180°，也就是180度角可以拆分为三个正切值分别为1，2和3的角。据此原理，任意角都可以拆分为像这种整数关系的角。这就是著名的12345模型，本质就是角度的拆分。特向发现此定理的于特致敬。

 在上篇图1-1到1-6中，图5-1到5-3中都可以使用此模型迅速导出∠OBF的正切值为1/2，这样后续计算就能不费吹灰之力了。

思考视角十余弦定理

在△OFC中，易知OC和CF，其中∠COF的余弦值可以利用12345模型得到，假设OF=a，OC=b，CF=c，∠COF=α，则利用:

即可求解。

思考视角十一托勒密定理

由相似可以证圆内接四边形对角线的乘积等于两组对边乘积之和。

也就是OF*BC+OB*FC=OC*BF

此题所用公式是如此简洁漂亮，令人震惊！

思考视角十二三爪模型

搞了这么多解法，最后看看这题的本质在哪里，我们把多余的线段去掉，可以得到以下图形：

此图形主要就是研究FO,FB, FC三者关系，由于它们酷像鸡爪，所有不妨假设FB为长爪，对应的是直角三角形BFC的长直角边，FC为短爪，对应的是直角三角形BFC的短直角边，那么FO叫中爪，对应的是两直角顶点的距离。

由旋转手拉手推理可得

FB-FC=根号2倍FO

用一句形象的话描述一下三爪定理：长爪与短爪之差等于根号2倍中爪

 此模型若变形：

此图中，可以知道BF+FC=根号2倍FO

这里可以作为三爪定理推论：长爪与短爪之和等于根号2倍中爪,利用此模型，上述题目即可秒杀。

三爪定理的本质就是利用线段的分散集中和等腰直三角形特性推得，该定理的使用前提是一个等腰直角三角形加一个共斜边的直角三角形。

总结到这里，本已经结束了，不过一个念头闪现，后面竟然又引出一个故事：

这是重庆的一道中考题，它的出处在哪里？

根据以课本为纲的原则，这个题应该是来源于课本。

翻开课本，看到以下一题：

八年级下册勾股定理一章第29页第14题，很有意思，看着很像。

此题可以简单抽象出来：

如图，在等腰直角三角形ABC中，点D是BC上任意一点，请探索AD,BD,DC之间的关系。

乍看一下，这样的题还真不好做。不过咱们教科书已经给出了结论，并且提示了探索方法。方法就是作一个手拉手模型。

通过手拉手旋转可以构造一个直角三角形，然后就可以得到：

BD²+CD²=2AD²

这个式子和我们得到的三爪定理很像，这中间有没有共通之处呢？

 这样自然想到：这些线段为什么会呈现这样的关系？如果不是等腰直角三角形还可以这样吗？

就是这样的一连串追问，竟然引发了后续一段故事：

普通三角形会不会也符合这样一个特性？

为什么这些图形会呈现出这样的特性？

最后还发现了一个挺惊讶的事情：这个重庆中考题和2018年河南中考第24题还有点关系。

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